OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

       Pada saat bermain dengan aljabar , kurasakan seperti bermain dengan Si Asli, si Nol, si
Cacah, si Negatif, si Bulat, si Rasional, si Irasional atau si Real. Tapi dengan warga baru
yang terdiri dari simbol atau huruf. Yang juga dilengkapi dengan operasi +, -,× dan ÷.
Penggunaan simbol-simbol ini, sebenarnya sudah digunakan sejak awal jaman Mesir dan
Hindus pada sekitar 1700 BC. Bangsa Yunani juga menggunakannya pada sekitar 250
AD
. Tapi ... kata aljabar baru dikenal pada sekitar 820 AD. Saat seorang matematikawan
yang berkebangsaan Arab, Abuu Ja‘far Muhammad bin Muusaa al-Khwaarizmii,
menuliskan Kitab Al-mukhtasar fii hisaab al-jabr wa'l-muqaabala. Yang pada kata
pengantarnya menunjukkan betapa pentingnya aljabar. Harus diajarkan secara benar
dengan penuh kasih sayang. Sayang ©... luv© ... aljabar :)
Dengan Nama Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang
Segala puji bagi Allah, yang karena Dia, Maha Pemberi tanpa imbalan
Maha memiliki Hak atas segala kuasaNya, Maha megetahui segala perilaku ciptaanNya
kami berterima kasih, kami bergantung atas belas kasihanNya
yang melindungi kami dari berbagai perubahan
mengakui keperkasaanNya, tunduk terhadap kekuatanNya
hormat atas ke Maha BesaranNya
seperti Allah tuturkan dalam
'Pimpinan dan Kesetiaan'
adanya keasyikan dikala menggemari ilmu pengetahuan
memberi contoh cara-belajar dengan cara yang lembut
bersikap sebagai panutan yang tak rumit
memberi perintah dengan jelas dan memberi semangat dikala mengatasi kesulitan
hingga kami bisa menyelesaikan perhitungan sesuai hukum yang benar
melengkapi dan mengurangi
dengan langkah yang termudah dan bermanfaat
pada kehidupan manusia sehari-hari
dalam pembagian warisan
perdagangan, pengukuran luas tanah
penggalian parit-parit untuk sistim irigasi
perhitungan geometri ... dan masalah-masalah lain
2
Simbol-simbol yang digunakan dalam aljabar
boleh apa saja. Saat ini, simbol yang lebih sering
digunakan adalah huruf-huruf. Huruf ini
diperlakukan seolah-olah mempunyai sifat
seperti bilangan. Huruf tunggal tanpa tanda
seperti si Asli. Bisa diberi tanda +:), tetap si Asli
atau - :(, jadi si Negatif. Huruf bisa juga
diletakkan di pembilang atau di penyebut.
Seperti pada si Rasional, yang di penyebut bukan
si Nol. Ada juga yang diletakkan di bawah tanda
akar, si Irasional. Semua huruf bersifat seperti si
Real, yang padat dan sexy. Maksudnya padat
pada sebuah garis bilangan. Yang membedakan
huruf dengan bilangan adalah ... huruf ini
nilainya bisa berubah-ubah. Huruf ini dinamakan
peubah atau variabel.
Operasi + pada aljabar:
a + a = 2a
2a + a + b + b = 3a + 2b
a + 0 = a
Operasi - pada aljabar:
a - a = 0
2a - a = a
a - 2a = -a
3a - b - a - 4b = 2a - 5b
Operasi × pada aljabar:
p × 1 = p
1 × p = p
2 × p = 2p
p × 3 = 3p
p × p = p2
p × q = pq
p2 × p = p3
p x p3 × q × q = p4q2
Operasi ÷ pada aljabar:
p ÷ 1 = p
1 ÷ p =
1
p
3
p ÷ q =
p
q
q ÷ p =
q
p
Operasi +, - , × atau ÷ dari beberapa simbol melahirkan bentuk aljabar, yang merupakan
warga Kampung Aljabar.
Sifat operasi +, ×, - dan ÷ pada aljabar, seperti pada si Real. Misalkan x, y dan z seperti
si Real.
Sifat tertutup terhadap operasi + atau ×
x si Real dan y si Real
x + y si Real juga
xy si Real juga
Sifat komutatif terhadap operasi + atau ×
x si Real dan y si Real
x + y = y + x
xy = yx
Sifat asosiatif terhadap operasi + atau ×
x si Real, y si Real dan z si Real
(x + y) + z = x + (y + z)
(xy)z = x(yz)
Ada unsur identitas dan lawan untuk operasi +
x si Real
Ada unsur identitas 0, si Nol, dengan sifat
x + 0 = x atau 0 + x = x
Ada lawan -x, dengan sifat
x + (-x) = 0, si Nol
-x + x = 0, si Nol
Ada unsur identitas dan kebalikan untuk operasi ×
y si Real
Ada unsur identitas 1, dengan sifat
y × 1 = z atau 1 × y = y
4
Ada kebalikan
1
y
, dengan sifat
y ×
1
y
= 1
1
y
× y = 1
Siifat tertutup terhadap operasi - atau ÷
x si Real dan y si Real
x - y si Real juga
x ÷ y si Real juga
Sifat terhadap operasi - atau ÷
tidak bersifat komutatif
tidak bersifat asosiatif
tidak ada unsur identitas
Hubungan Si Real dan operasi-operasi +, × - dan ÷ sangat erat. Sangat akrab,
sehingga ...
operasi - pada si Real adalah operasi + terhadap lawannya :P
operasi ÷ pada si Real adalah operasi × terhadap kebalikannya :P
Sifat distributif terhadap operasi + bergabung dengan ×
x si Real, y si Real dan z si Real
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz
Permainan warga Kampung Aljabar dalam Operasi + atau – pada aljabar, tampak
seperti mengelompokkan yang lambangnya sejenis. Si Real 2, 3 dan 5 melakukan operasi
+ dan - pada bentuk aljabar dengan riangnya
(2p + 3q - 5) + (p - 3q + 2)
"Ada tanda + :) di depan kurung", pikir si Real serempak. "Tak perlu perhatian, tak ada
perubahan". Hukum kumutatif dan asosiatif juga berlaku dalam permainan warga
Kampung Aljabar
5
(2p + 3q - 5) + (p - 3q + 2) = 2p + 3q - 5 + p - 3q + 2
= 2p + p + 3q - 3q - 5 + 2
= 3p – 3 ... Sip :)
"Apa yang terjadi kalau ada tanda - :( di depan kurung?", tanya si Real serempak dalam
hati. "Perlu perhatian, ada perubahan menjadi lawannya"
(2p + 3q - 5) - (p - 3q + 2) = 2p + 3q - 5 - p + 3q - 2
= 2p - p + 3q + 3q - 5 - 2
= p + 6q – 7 ... Sip :)
Si Bulat juga tak ketinggalan bermain dengan operasi × dengan warga kampung Aljabar.
Bentuk paling sederhana dari
2p × (-3pq2) × (-2qr) × 3pr
adalah ... ...
Pilihan jawabannya adalah a.-36p3q3r2 b.36p2q3r3 c.36p3q3r2 d.-36p3q2r3
Karena hukum komutatif dan asosiatif pada operasi ×, Si Bulat 2 dan 3 mengoperasikan
bilangan dan tandanya terlebih dahulu . "Operasi kali dari 2 × -3 × -2 × 3 = 36".
Kemudian baru huruf-hurufnya, boleh di bolak-balik mau dipilih yang mana duluan.
Sekarang hasil operasi × nya huruf-hurufnya adalah p3 q3r2. "Hasilnya 36p3q3r2", kata
mereka. "Jadi jawab benar c". Sip :)
Hukum distributif mendasari permainan operasi – bergabung dengan operasi × berikut.
Hasil perhitungan bentuk aljabar 6a(3 - 2a) adalah ...
Pilihan jawabannya adalah a.18 + 12a b.18a + 12a2 c.18a2 - 12a d.18a - 12a2
"Ya, yang ini sih gampang", kata si Bulat beramai-ramai. Dengan mata terpejam si Bulat
menuliskan
6a(3 - 2a) = 18a - 12a2
"Jawab benarnya d", kata si Bulat bersama-sama lagi. "Tidak mungkin si Bulat
melakukan dengan mata terpejam", kataku. "Pasti si Bulat sudah belajar".
Si Negatif beramai-ramai juga ikut dalam permainan. Hasil pengurangan -6x2 - 12x dari
7x2 + 2 adalah ...
"Tanda -, negatif :(, perlu perhatian, ada perubahan menjadi lawannya", kata mereka
dengan lirih.
7x2 + 2 - (-6x2 - 12x ) = 7x2 + 2 + 6x2 + 12x
= 13x2 + 2 + 12x
Penulisan aljabar yang jelita adalah dari kiri hurufnya tersusun sesuai urutan abjad. Dari
kiri pangkat di mulai dari terbesar. Walaupun penulisan ini bukan hal yang wajib,
berlatihlah menulis demikian . Agar aljabar menjadi jelita. Sayang ... luv ... aljabar
= 13x2 + 12x + 2
sip :)
Sekarang giliran si Asli. Bentuk paling sederhana dari hasil perhitungan aljabar
6
5p(2p - 3q - 5) - 3q(4q - 3p + 5)
Dengan pilihan jawabannya
a.10p2 + 12q2 -6pq - 25p - 15q
b.10p2 - 12q2 + 6pq - 25p - 15q
c.10p2 - 12q2 - 6pq - 25p - 15q
d.10p2 - 12q2 - 6pq - 25p + 15q
adalah ...
"Ha ... ini kan menggunakan hukum distributif juga", kata si Bulat berteriak-teriak.
Sedangkan Si Asli dengan tenang asik mengerjakan
5p(2p - 3q - 5) - 3q(4q - 3p + 5) = 10p2 - 15pq - 25p - 12q2 + 9pq - 15q
= 10p2 - 12q2 - 6pq - 25p -15q
"Jawab benar c", kata si Asli bersama-sama.
Tanda kurung merupakan ciri pada operasi +, × - atau ÷ secara bergabung. Seperti hitung
campuran pada bilangan , yang di dalam kurung harus dikerjakan terlebih dahulu. Tanda
kurung harus sepasang. Harus tahu mana pasangannya. Tanda kurung yang tidak
sepasang menunjukkan adanya kesalahan.Ada kurung lebih dari sepasang, yang sifatnya
bersarang. Maksudnya sepasang kurung berada di dalam sepasang kurung yang lain. Atau
sebaliknya, sepasang kurung di luar sepasang kurung yang lain. Kurung yang paling
dalam harus dikerjakan terlebih dahulu. Misalkan pada permainan si Cacah berikut ini
(2x + 3y) - [x - 2(3x - y)]
Si Cacah mengerjakan begian dalam kurung yang bersarang terlebih dahulu. “Ada tanda -
:( perlu perhatian", bisik salah satu dari si Cacah. "Ada perubahan menjadi lawannya".
Sehingga diperoleh
= (2x + 3y) - [x - 6x + 2y]
Kemudian si Cacah melanjutkan mengerjakan yang di dalam kurung kotak. Sehingga
diperoleh.
= (2x + 3y) - [-5x + 2y]
"Ada tanda -:( lagi", bisik si Cacah yang lain. "Perlu perhatian, ada perubahan menjadi
lawannya".
= 2x + 3y + 5x - 2y
Selanjutnya diperoleh ...
= 2x + 5x + 3y - 2y
= 7x + y
Jadi ... (2x + 3y) - [x - 2(3x - y)] = -7x + y ... Sip :)
7
Si Linear ax + b, a ¹ 0 merupakan warga Kampung Aljabar yang populer yang
dilahirkan dari hubungan si Real dan lambang-lambang yang merupakan peubah. Dimana
a dan b adalah si Real dan x adalah peubah. Dikatakan si Linear karena pangkat tertinggi
si peubahnya adalah 1. Si Linear memiliki sifat-sifat
Jika a = 0, bukan si Linear, b saja, si Real yang merupakan konstanta
Jika a = 1, si Linear x + b
Jika b = 0, si Linear ax
Jika a = 1 dan b = 0, si Linear x
Permainan operasi × pada si Linear berikut, merupakan pengembangan dari hukum
distributif pada operasi + bergabung dengan × ...
(2a + 6)(3a - 7) :D
Yang kanan didistribusikan ke kiri. Dan didapatkan
= 2a(3a - 7) + 6(3a - 7)
Kemudian masing-masing didistribusikan lagi
= 6a2 - 14a + 18a – 42
= 6a2 + 4a - 42
Jadi ... hasilnya
(2a + 6)(3a - 7) = 6a2 + 4a – 42
sip :)
Permainan operasi × pada si Linear melahirkan warga Kampung Aljabar yang tak kalah
populer dengan si Linear. Dia adalah si Kuadrat.
Selain dengan sifat distributif seperti diatas tadi, operasi pada si Linear dapat dikerjakan
dengan bantuan Peri Gading. Sayang© ... luv ©... Peri Gading :)
Perkalian yang kuning, hasilnya letakkan
di bintang kuning. Perkalian yang hijau, lalu
tambahkan, hasilnya letakkan di bintang
hijau. Perkalian yang pink, hasilnya letakkan
di bintang pink.
(5x + 3)(-2x - 5)
= -10x2 -31x - 15
Ada 3 permainan operasi pada si Linear yang sangat digemari di Kampung Aljabar.
Memang mula-mulanya permainan ini dilakukan bersama Peri Gading. Tapi lama
8
kelamaan semua sahabat matematika, siswa-siswiku lancar dalam permainan ini
walaupun tanpa kehadiran Peri Gading.
Operasi pada si Linear (ax + b)(ax – b)
(2x - 3)(2x + 3)
Menurut Peri Gading, hasil dari (2x - 3)(2x + 3) = 4x2 + 0 – 9 = 4x2 – 9. Jadi untuk
peroperasi si Linear dengan pola sama, tetapi yang satu +:) dan yang lain -:(, akan
menghasilkan ...
(ax + b)(ax – b) = a2x2 – b2
Operasi pada si Linear (ax + b)2
Menurut Peri Gading, hasil dari (2x + 3)(2x + 3) = 4x2 + 12x2 – 9 = Jadi untuk peroperasi
si Linear dengan pola sama, dan ... +:), akan menghasilkan
(ax + b)2 = a2x2 + 2(ax)(b) + b2
Operasi pada si Linear (ax – b)2
Menurut Peri Gading, hasil dari (2x - 3)(2x - 3) = 4x2 - 12x2 – 9 = Jadi untuk peroperasi
si Linear dengan pola sama, dan ... -:(, akan menghasilkan
(ax + b)2 = a2x2 - 2(ax)(b) + b2
Sayang© ... luv© ... si Linear :)
Si Kuadrat ax2 + bx + c, a ¹ 0 merupakan warga Kampung Aljabar yang tak kalah
populer dengan si Linear. Yang dilahirkan dari operasi × si Linear. Dimana a, b dan c
adalah si Real dan x adalah peubah. Dikatakan si Kuadrat karena pangkat tertinggi dari
peubahnya adalah 2. Dan memiliki sifat-sifat ...
Jika a = 0, bukan si Kuadrat, si Linear bx + c
Jika a = 1, si Kuadrat ax2 + bx + c
Jika b = 0, si Kuadrat ax2 + c
Jika c = 0, si Kuadrat ax2 + bx
Jika a = 0 dan b = 0, c saja, konstanta
Jika b = 0 dan c = 0, si Kuadrat ax2
Ada perkalian. Ada pemfaktoran. Ada KPK, ada FPB. Demikian juga pada aljabar, si
Linear bisa difaktorkan menjadi perkalian konstanta dan si Linear atau perkalian si
Linear. Maka ada pula pemfaktoran . Mulai dari yang paling sederhana
10x - 2 = 2(5x - 1)
Si Asli 2 bisa di tarik keluar
x2 - 3x = x(x - 3)
si Peubah x bisa ditarik keluar
Pemfaktoran merupakan permainan yang sering dilakukan oleh Si Kuadrat. Pemfaktoran
si Kuadrat menjadi perkalian si Linear ...
3x2 - 11x + 6
9
Si Real 3 sebagai koefisien x2. Cari 2 bilangan yang jumlahnya -11, si Real koefisien
pada x . Dan hasil kalinya harus sama dengan hasil kali 3 × 6 = 18. Jadi ... 2 bilangan
tersebut adalah -2 dan -9. Kemudian ubah si Kuadratnya menjadi
3x2 - 2x - 9x + 6
Selanjutnya jadikan 2 bagian. Tanda - :( perlu perhatian. Ada perubahan menjadi
lawannya.
(3x2 - 2x) - (9x - 6)
Selanjutnya seperti biasa. Dengan hukum distributif, pada bagian kiri dikeluarkan x, si
Peubah. Dan ... pada bagian kanan dikeluarkan 3, si Real. Sehingga diperoleh
x(3x - 2) - 3(3x - 2)
Lagi-lagi dengan hukum distributif, dikeluarkan si Linear (3x - 2). Dan diperoleh
(3x - 2)(x - 3)
Jadi ... hasil pemfaktorannya adalah
3x2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3) ... Sip :)
Tidak semua si Kuadrat bisa difaktorkan. Selain dengan hukum distribusi, ada Peri
Hitam yang menjadi sahabat anak-anak dan siswa-siswiku dalam menyelesaikan
pemfaktoran
Bintang kuning diletakkan di bintang kuning.
Isi tanda tanya hijau atau tanda tanya pink
dengan syarat
• Hasil tambahnya adalah bintang hijau.
• Hasil kalinya adalah bintang pink
Lalu bagi dengan bitang kuning
6x2 - x – 12
= (6x ... )(6x ...)
= (6x - 9)(6x + 8)
dibagi 6,
bagian kiri dibagi 3, bagian kanan dibagi 2
= (2x - 3)(3x + 4)
Ada bentuk aljabar yang pangkat 3. Peri hitam hanya bisa untuk si Kudrat. Lihat dulu
soalnya. Mungkin bisa di jadikan si Kuadrat?
10
x3 - 11x2 + 24x
dilakukan pemfaktoran yang paling sederhana
terlebih dahulu
= x(x2 - 11 x + 24)
= x(x ... )(x ... )
= x(x - 8)(x - 3)
dibagi 1,
= x(x - 8)(x - 3)
Tadi sudah di ketahui ada 3 permainan perkalian yang digemari pada si Linear, pada Si
Kuadrat a2x2 – b2 ada satu permainan pemfaktoran yang paling digemari. Semua anakanak,
sahabat matematika dan siswa-siswiku lancar dalam permainan ini tanpa kehadiran
Peri Hitam. Kebalikan dari yang dikatakan Peri Gading (ax + b)(ax – b) = a2x2 – b2. Peri
Hitam menyarankan menghafalkan ....
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
25x2 - 16 = (5x + 4)(5x - 4)
Aku senang dengan permainan aljabar. Sayang© ... luv© ... aljabar :). Dengan si Kuadrat,
si Linear, Peri Gading dan Peri Hitamnya :D
Himpunan
Si Nol hanya ada satu. Si Asli, si Cacah, Si Negatif, si Bulat, si Rasional, si Irasional dan
si Real, masing-masing, ada tak terhingga banyaknya. Yang dilambangkan dengan .
Mereka membentuk suatu himpunan.
Himpunan adalah kumpulan obyek yang sejenis. Nama himpunan ditulis dengan huruf
besar A, B, C, ..., P, Q , ... atau yang lain-lain. Sedangkan setiap obyek dalam suatu
himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan dilambangkan dengan huruf kecil
a, b, c, ...
a Î A artinya a elemen dari A :)
a Ï A artinya a bukan elemen dari A :(
Menuliskan himpunan dengan ada 2 cara, yaitu dengan cara mendaftar dan menyatakan
sifat elemen-elemennya.
11
Dengan cara mendaftar:
Himpunan Bilangan Asli, Si Asli = {1,2,3, ... }
Himpunan bilangan Nol, elemennya hanya satu, Si Nol = {0}
Himpunan Bilangan Cacah , Si Cacah = {0, 1, 2, 3, ...}
Himpunan Bilangan Bulat, Si Bulat = { ... -3,-2,-1,0,1,2,3, ...}
Dengan cara menyatakan sifat-sifatnya:
Himpunan Bilangan Rasional, si Rasional = { x | x =
p
q
, p si Bulat, q si Bulat dan q ¹ 0 }
Himpunan Bilangan Irasional, si Irasional = { x | dimana tidak ada p si Bulat, q si Bulat
dan q ¹ 0 dengan x =
p
q
}
Banyak elemen suatu himpunan dilambangkan dengan suatu huruf n. Untuk menghitung
banyak elemen suatu hinpunan, harus dituliskan terlebih dahulu dengan cara mendaftar.
Himpunan A, bila ditulis dengan menyatakan sifatnya A = {x | x si Asli, x £9} atau bila
dituliskan dengan cara mendaftar A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , maka n(A) = 9
Himpunan B, bila dituliskan dengan cara mendaftar B = {... -3,-2,-1,1,2} atau bila ditulis
dengan menyatakan sifatnya B = {x | x si Bulat, x < 3}, maka n(B) =
Himpunan C, bila dituliskan dengan cara mendaftar C = {0,1,2,3,4} atau bila ditulis
dengan menyatakan sifatnya C = {x | x si Bulat, 0 £ x £ 4 }, maka n(C) = 5
Himpunan tanpa anggota disebut himpunan kosong atau hampa. Yang dilambangkan
dengan
Æ atau { }
Apakah ada himpunan hampa? Ku teringat lagu ... Hampa. Dinyanyikan oleh Ari Lasso.
Ku cari CD nya dan ku putar lagu itu. Biarlah ... mengiringi aku belajar dengan seorang
siswiku sore ini. Juga ditemani sahabat-sahabatku, sahabat matematika :)
Kupejamkan mata ini
Mencoba tuk melupakan
Hampa terasa hidupku tanpa dirimu
Apakah disana kau rindukan aku
Seperti diriku yang selalu merindukanmu
Tak pernah kah kau sadar
Arti cintamu untukku
Aku memisalkan P adalah himpunan orang yang sangat dirindukan Ari Lasso dan Q
adalah himpunan orang yang sangat kurindukan. Kehampaan Ari Lasso berbeda dengan
12
kehampaan himpunan P. Orang yang sangat dirindukan oleh Ari Lasso ada, entah
dimana. Hatinya yang hampa. Orang yang kurindukan tidak ada. Maka dituliskan ...
P = { x | x seorang yang dicoba untuk dilupakan, selalu dirindukan, tak pernah sadar arti
cinta}, sedangkan Q = {x | x tak ada}. Jadi n (P) = 1, sedangkan n (Q) = Æ.
Himpunan mempunyai semesta yang merupakan tempat hidup himpunan-himpunan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S, dari kata semesta, atau U, dari kata
universal.
Cara lain untuk mengenali himpunan adalah dengan cara menggambarkan. Dikenal
dengan sebutan diagram Venn, yang diperkenalkan oleh John Venn [1834 – 1923],
seorang ahli logikawan berkebangsaan Inggris. Venn membuat himpunan semesta
sebagai persegi panjang. Himpunan-himpunan sebagai lingkaran. Pada diagram Venn
akan digambarkan komplemen dari suatu himpunan. Dan hubungan antara 2 himpunan
atau lebih.
Bagian yang putih adalah himpunan A. Sedangkan yang
gelap adalah komplemen himpunan A. Yang
dilambangkan dengan Ac atau A'
Ac = {x | x Î S , x Ï A }
Hubungan 2 himpunan adalah himpunan sama atau himpunan bagian. Ada juga operasi 2
himpunan atau lebih. Himpunan yang sama adalah himpunan yang elemen-elemennya
sama persis.
Himpunan bagian digambarkan oleh Venn sebagai
berikut. Himpunan B adalah himpunan bagian dari
himpunan A. Yang dilambangkan dengan
B Ì A
Yang maknanya untuk setiap x Î B, maka x Î A.
Operasi dalam himpunan ada 2 operasi dalam himpunan, yaitu gabungan dan irisan.
Operasi gabungan dalam himpunan: Misalkan 2
himpunan M dan N. M gabungan N adalah himpunan
yang anggotanya adalah elemen-elemen atau di A atau
di B. Venn menggambarkan M gabungan N sebagai
berikut. Bagian yang berwarna biru adalah M gabungan
N. Yang dilambangkan dengan
M È N = {x | x Î M atau x Î N }
13
Operasi irisan dalam himpunan: Misalkan 2
himpunan M dan N. M irisan N adalah himpunan yang
anggotanya adalah elemen-elemen A dan, sekaligus B.
Venn menggambarkan M gabungan N sebagai berikut.
Bagian yang berwarna biru adalah M irisan N. Yang
dilambangkan dengan
M Ç N = {x | x Î M dan x Î N }
Siswiku dan sahabat-sahabat matematika pada awal bermain dengan himpunan seakan
hanya mengenali lambang-lambang yang digunakan dalam himpunan. Misalnya benar
atau salahkan penggunaan lambang-lambang berikut
4 Î {2, 3, 4} ... B:)
{2, 3} Ì {2, 3, 4} ... B:)
{3} Î {2, 3, 4} ... S:(
{0} = Æ ... S :(
Juga menentukan gabungan dan irisan 2 himpunan, yang dinyatakan dengan cara
mendaftar
{1, 3, 5} È {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5} ... B:)
{1, 2, 4} Ç {2, 3, 4} = {2, 4} ... B:)
{6, 8, 9, 11} È {3, 4, 9, 11} = {3, 4, 6, 8, 9, 11} ... B:)
{1, 5, 9} Ç {3, 4, 6, 8} = Æ ... B:)
Siswaku membawa sebuah permainan tentang penggambaran diagram Venn dari
A’ È B’ = B’
Dia menggambarkan sebagai A Ì B, dan disalahkan oleh gurunya :(
Aku menggambar diagram Venn dari A Ì B di secarik
kertas lain. Himpunan A kugambarkan dengan
lingkaran warna pink. Lalu ku ikuti soalnya dengan
menggambarkan himpunan A' dengan bunga-bunga
jelita warna pink. Sedangkan himpunan B kugambarkan
dengan lingkaran warna hijau dan himpunan B'
kugambarkan dengan rumput-rumput segar warna hijau.
Himpunan A' È B' adalah atau himpunan bunga-bunga
jelita atau himpunan rumput-rumput segar. Yang tak
lain adalah himpunan A'. Jadi
A Ì B Û A’ È B’ = A’
“Haha ... pasti yang benar sebaliknya”, kata sahabat matematika si Real. Yang dimaksud
adalah B Ì A”.
14
Sekarang aku gambarkan B Ì A di secarik kertas.
Himpunan A tetap kugambarkan dengan lingkaran
warna pink. Himpunan A' digambarkan dengan bungabunga
jelita warna pink. Sedangkan himpunan B tetap
kugambarkan dengan lingkaran warna hijau. Himpunan
B' digambarkan dengan rumput-rumput segar warna
hijau. Himpunan A' gabungan himpunan B' adalah atau
bunga-bunga jelita atau rumput-rumput segar. Yang tak
lain adalah himpunan B'. Jadi
B Ì A Û A’ È B’ = B’
Augustus De Morgan (27 Juni 1806 – 18 Maret 1871) adalah seorang matematikawan
dan logikawan berkebangsaan Inggris. De Morgan hubungan yang cantik antara
gabungan komplemen himpunan-himpunan dengan komplemen irisan himpunanhimpunan
itu. Atau sebaliknya ...
A’ È B’ = (A Ç B)’
Atau sebaliknya ...
A’ Ç B’ = (A È B)’
Aku teringat lagu Marilah Kemari yang diciptakan oleh Titik Puspa.
Boleh dua-duaan, asal tetap di lingkaran.
Begitu juga dalam masalah himpunan , lebih aman bermain dalam himpunannya, di
dalam lingkaran. Daripada di komplemennya, di luar lingkaran. Jadi permainan
A’ È B’ = B’
Bisa diubah menjadi
(A Ç B)’ = B’
Yang artinya
A Ç B = B
Dan ... lebih mudah dibayangkan diagram Vennnya sebagai B Ì A. Sayang©... luv©...
himpunan :)
Jika Si Cacah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu semesta dari himpunan
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8}.
Maka Ac Ç Bc adalah ...
Si Cacah mengubah, sesuai hukum De Morgan Ac Ç Bc = (A È B)c. Dan memperoleh
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Maka Ac Ç Bc = (A È B)c = {7, 9, 10}... Sip :)
Si Nol menanyakan kepada si Cacah, “Bagaimana denga Ac È Bc?” “Tentu saja, tentukan
terlebih dahulu A Ç B = {2, 4, 6}”, kata si Cacah.. Dan ...
Ac È Bc = (A Ç B)c = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}
15
Permainan lain dalam himpunan. Sebuah kelompok basket terdiri beranggotakan 50
orang. Yang gemar sayuran 28 orang. Yang gemar buah-buahan 35 orang. Diantara
mereka ada 18 orang yang gemar, keduanya, sayuran dan buah-buahan. Banyaknya orang
yang tidak gemar sayuran dan tidak gemar buah-buahan adalah ...
Dulu permainan seperti ini diselesaikan dengan rumusan
n (A È B) = n (A) + n (B) – n (A Ç B)
Tapi kini ... siswa-siswi masa kini dan sahabat-sahabat matematika. Si Nol, si Asli, si
Cacah, si Negatif, si Bulat, si Rasional, si Irasional dan si Real menyelesaikan soal seperti
ini dengan diagram Venn. Aku merasa, aku harus bisa seperti siswa-siswi masa kini dan
samabat-sahabat matematika :). Lebih mudah. Sudah dibuktikan oleh banyak siswa-siswi
dan sahabat-sahabat matematika yang belajar bersama aku :D
U adalah semesta kelompok basket terdiri
beranggotakan 50 orang, n(U) = 50. S adalah himpunan
penggemar sayuran, n(S) = 28. B adalah himpunan
penggemar buah-buahan, n(B) = 35. Yang gemar
keduanya, sayuran dan buah-buahan, atau lebih
tepatnya sayuran dan sekaligus buah-buahan 18 orang,
n(S B) = 18. Dari diagram Venn bisa dilihat, yang
gemar sayuran saja ada 28 - 18 = 10. Dan yang gemar
buah-buahan saja ada 35 - 18 = 17.
Jadi ... dari diagram Venn bisa dilihat, yang gemar sayuran atau buah-buahan, n(S B)
= 10 + 18 + 17 = 45 . Selanjutnya ... yang tidak gemar sayuran dan tidak gemar buahbuahan
adalah yang di luar gabungannya. Bisa dihitung ada 50 - 45 = 5. Jadi, banyaknya
orang yang tidak gemar sayuran dan tidak gemar buah-buahan adalah 5 orang. Sip ... :)
Si Rasional juga bermain dengan himpunan. Banyak siswa di sebuah kelas adalah 50
orang. Ada 25 siswa ikut kegiatan eketrakurikuler Seni Tari Jawa. Dan ada 18 siswa ikut
Paduan Suara. Jika ada 10 siswa tidak ikut kegiatan ekstrakirikuler, karena harus berlatih
untuk kompetisi Matematika. Maka ada berapa siswa yang mengikuti kegiatan
ekstrakurikuler Seni Tari Jawa dan sekaligus Paduan Suara? Dan berapa banyak
himpunan bagian yang dapat dibuat dari himpunan siswa yang mengikuti kedua kegiatan
tersebut sekaligus? “Banyak siswa yang ikut kegiatan ekstrakurikuler asalah 50 – 10 = 40
siswa”, kata si Rasional.
Si Rasional menggambarkan himpunan siswa yang
mengikuti Seni Tari Jawa sebagai A. Dan himpunan
siswa yang mengikuti Paduan Suara sebagai B. Maka
himpunan siswa yang mengikuti Seni Tari Jawa dan
sekaligus Paduan Suara adalah A Ç B. Sedangan siswa
yang mengikuti Seni Tari Jawa atau Paduan Suara
adalah A È B, dengan n (A È B) = 40. Terlihat pada
diagram Venn, yang juga sesuai rumusannya
16
n (A Ç B) = n (A) + n (B) – n (A È B)
= 25 + 18 – 40
= 3
“Jadi, banyak siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler Seni Tari Jawa dan
sekaligus Paduan Suara adalah 3 orang”, kata si Rasional mengakhiri gambarannya.
Apa sebenarnya yang dimaksud dengan banyaknya himpunan bagian dari suatu
himpunan?
Misalkan himpunan A = {1,2,3}
n(A) = 3
Himpunan-himpunan bagian dari A adalah
{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}
Jadi ...
Banyak himpunan bagian yang bisa dibuat dari A adalah 8
Secara umum bisa dirumuskan sebagai berikut
Misalkan banyak anggota suatu himpunan adalah n
Banyak himpunan bagian yang bisa dibuat adalah 2n
Kembali ke permainan himpunan si Rasional. Maka, banyak himpunan bagian yang dapat
dibuat dari himpunan siswa yang mengikuti kedua kegiatan tersebut sekaligus, atau
banyak himpunan bagian dari A B adalah
23 = 8
Si Irasional memperhatikan permainan si Rasional. Banyak himpunan bagian dari
himpunan yang dimaksud adalah semua himpunan yang mungkin terjadi. Bisa yang
kosong, bisa yang banyak anggotanya 1, bisa yang banyak anggotanya 2 dan bisa yang
banyak anggotanya 3. “Berapa banyak himunan bagian yang dapat dibuat jika yang
banyak anggotanya tertentu saja?, tanyanya. “Kita harus membuat barisan bilangan
Segitiga Pascal”, kata si Rasional
17
Si Rasional menyelesaikan permainan himpunan yang ditanyakan si Irasional, sesuai
barisan bilangan Segitiga Pascal, dalam tabel berikut ...
Banyak elemen suatu himpunan 1 2 3 4 5 6
Banyak himpunan bagian yang Æ
atau banyak elemennya 0
1 1 1 1 1 1
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 1
1 2 3 4 5 6
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 2
:( 1 3 6 10 15
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 3
:( :( 1 4 10 20
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 4
:( :( :( 1 5 15
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 5
:( :( :( :( 1 6
Banyak himpunan bagian yang
banyak elemannya 6
:( :( :( :( :( 1
Banyak semua himpunan bagian yang
mungkin ( = 2n )
2 4 3 16 32 64
Sayang© ... luv© ... himpunan bagian :)
Aku Tak Mau Sendiri
Sore ini hujan deras. Tadi siswa-siswaku sudah mengirim sms. Mereka tidak bisa datang.
Masih macet di jalan. Aku ambil CD, kudengar alunan suara Bunga Citra Lestari (BCL).
18
Lagu ini pernah megiringi aku belajar bersama anak-anakku Mini dan Inar. Sekarang
mereka semua sudah di Perguruan Tinggi. Aku sangat bahagia bisa mengantar mereka
mencapai cita-citanya. Inilah BCL ...
Sejak Ia pergi dari hidupku, ku merasa sepi
dia tinggalkan ku sendiri, tanpa satu yang pasti
Sahabat-sahabat matematika, semua yang kampungna tdak banjir datang ke rumahku.
Mereka mendengarkan dan ikut mendendangkan lagu Aku tak mau Sendiri nya BCL.
Sambil membantuku menyelesaikan permainan perkalian pada pecahan aljabar ...
Seperti pada bilangan rasional, operasi kali pada pecahan aljabar juga pembilang dikali
pembilang dan penyebut kali penyebut. Atau bisa menyederhanakan dengan cara
pembilang atau penyebut dibagi dengan bilangan yang sama. Yang dilakukan dengan
mencoret bilangan yang akan dibagi dengan bilangan yang sama dan menuliskan hasilnya
...
Kampung Bulat kali ini bebas banjir. Si Bulat, semuanya bekerja sama mulai dengan
membagi dengan 4, mencoret dengan warna merah. Pada 16 di pembilang, hasilnya 4,
dituliskan dengan warna merah. Pada 4 di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selanjutnya membagi dengan 3, mencoret dengan warna hijau. Pada 3 di pembilang,
hasilnya 1, tak dituliskan . Pada 12 di penyebut, hasilnya 4, dituliskan dengan warna
hijau. Selajutnya ... membagi dengan 4, mencoret dengan warna biru. Pada 4 di
pembilang, hasilnya 1, tak dituliskan. Pada 4 di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Sekarang mambagi dengan x2, mencoret dengan warna ungu muda. Pada x2 di pembilang,
hasilnya 1, tak dituliskan. Pada x3 di penyebut, hasilnya x, yang dicoret pangkatnya. Jadi,
hasil akhirnya ...
Sip :)
Kampung Cacah, bagian dari Kampung Bulat juga tidak banjir. Si Cacah, di rumahku,
menikmati alunan suara BCL dangan lagu Aku tak Mau Sendiri. Inilah BCL ...
aku tak tau harus bagaimana, aku merasa tiada berkawan
selain dirimu, selain cintamu
Hujan semakin deras. Si Cacah makin tenggelam dalam menyelesaikan permaonan
perkalian aljabar dengan iringan lagunya BCL. Aku bersyukur, walau anak-anakku
19
sekarang jauh dari aku. Tapi karena aku sayang ... luv ... aljabar :), aku masih
mempunyai sahabat-sahabat matematika yang menemani aku. Belajar aljabar. Belajar
matematika ...
Si Cacah memfaktorkan terlebih dahulu, barangkali nanti bisa disederhanakan
Iya ... bisa disedrhanakan. Si Cacah membagi pembilang atau penyebut dengan bilangan
yang sama. Dengan cara mencoret ...
Dimulai dengan membagi dengan (x - 2), mencoret dengan warna merah. Pada x - 2 di
pembilang, hasilnya 1, tak dituliskan. Pada (x - 2) di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selanjutnya membagi dengan 4, mencoret dengan warna hijau. Pada 12 di pembilang,
hasilnya 3, dituliskan dengan warna hijau. Pada 4 di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selajutnya ... membagi dengan y, mencoret dengan warna biru. Pada y2 di pembilang,
hasilnya y, yang dicoret pangkatnya. Pada y di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan. Jadi,
hasil akhirnya ...
Sip :)
Hujan mulai reda. Si Asli, yang kampungnya juga tidak banjir, setia menemaniku dalam
rasa sepi karena jauh dari anak-anakku. Inilah BCL ...
Kirim aku malaikatmu, biar jadi kawan hidupku
dan tunjukan jalan yang memang, kau pilihkan untukku
Sambil menyelesaikan permainan pembagian pada pecahan aljabar ...
20
"Wah ... ingat-ingat pembagian pada bilangan pecahan. Harus diubah menjadi perkalian
dan pembaginya dibalik", pikir si Asli sambil asik menuliskan pikirannya di selembar
kertas ...
Kemudian, dia melakukan hal seperti biasanya bila bermain perkalian pecahan aljabar.
Mencoba melakukan pemfaktoran terlebih dahulu ...
Lalu mencoba menyederhanakan, membagi pembilang atau penyebut dengan bilangan
yang sama. Dengan mencoret ...
Dimulai dengan membagi dengan (x - 3), mencoret dengan warna merah. Pada (x - 3) di
pembilang, hasilnya 1, tak dituliskan. Pada (x - 3) di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selanjutnya membagi dengan (x + 4), mencoret dengan warna hijau. Pada (x - 4) di
pembilang, hasilnya 1, tak dituliskan. Pada (x - 4) di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selajutnya ... membagi dengan x2, mencoret dengan warna biru. Pada x2 di pembilang,
hasilnya 1, tak dituliskan. Pada x dan x di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan. Selajutnya
... membagi dengan 3, mencoret dengan warna ungu muda. Pada 6 di pembilang, hasilnya
2, kutuliskan dengan warna ungu muda pada 3 di penyebut, hasilnya 1, tak dituliskan.
Selajutnya ... membagi dengan 2, mencoret dengan warna jingga. Pada 2 di pembilang,
hasilnya 1, tak dituliskan. Pada 4 di penyebut, hasilnya 2, dituliskan dengan warna jingga.
Jadi, hasil akhirnya ...
Sip :)
Pada saat sepi sendiri. Sambil mendengarkan lagu Aku tak Mau Sendirinya BCL. Aku
jadi teringat masa kecilku yang mempunyai banyak teman. Aku bersyukur, kini aku
selalu ditemani oleh sahabat-sahabatku matematika :). Tapi kali ini, justru pada saat
menyelesaikan permainan pecahan aljabar, kampung Rasional yang diluar kampung
Bulat, dilanda banjir. Mereka tidak bisa datang ke rumahku. Inilah BCL ...
Kirim aku malaikatmu, karena ku sepi berada di sini
dan di dunia ini, aku tak mau sendiri
21
Sekarang giliran Si Nol bermain penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar. Dia
satukan , karena pengurangan sebenarnya penjumlahan juga. Penjumlahan terhadap
lawannya. Seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional, harus
menyamakan penyebutnya. Yang terbaik disamakan menjadi KPKnya ...
Si Nol memfaktorkan terlebih dahulu penyebutnya ...
"Ooh ... ternyata masih bisa difaktorkan lagi", kata si Nol
Selanjutnya ... si Nol menyamakan penyebutnya. Karena penyebut sudah difaktorkan, si
Nol bisa langsung bisa menentukan KPK dari penyebutnya, yaitu 2x(x + 2)(x – 2) ...
Dan ... Si Nol menambahkan pembilangnya. Dan mendapatkan hasil akhirnya ...
Sip :)
Hujan telah reda. Aku mengharap tulisan sahabat-sahabat metematika ini bermanfaat bagi
siswa-siswi SMP dan SMA di negeriku, Indonesia. Masih sempat kunikmati bait terakhir
lagu Aku tak Mau Sendiri yang dinyanyikan oleh BCL. Inilah BCL ...
tanpa terasa aku, teteskan air mata ini
yang tiada berhenti, mengiringi kisah di hati
Tapi hari masih sore. Aku masih ingin bermain dengan sahabat-sahabat matematika :).
Kubuka catatan permainan yang tersimpan rapi di bagian samping meja tempat aku
bermain bersama sahabat-sahabat matematika dan siswa-siswiku.
22
Hasil penjabaran dari (4x + 3y)(3x - 4y) adalah
...
Pilihan jawabannya
a. 12x2 - 7xy - 12y2
b. 12x2 - 7xy + 12y2
c. 12x2 + 7xy - 12y2
d. 12x2 + 7xy + 12y2
Aku teringat Peri Gading ..
(4x + 3y)(3x - 4y)
= 12x2 - 7xy - 12xy
Jawab benar a. Sip :)
Pemfaktoran dari 4x2 - 25y2 adalah ...
Pilihan jawabannya :
a. (x - 5y)(4x - 5y) b. (x - 5y)(4x + 5y) c. (2x - 5y)(2x - 5y) d. (2x - 5y)(2x + 5y)
Permainan yang ini harus dihafalkan 4x2 - 25y2 = (2x + 5y)(2x - 5y).
Jawab benar d. Sip :)
Permainan dari Panitia Uji Coba Kompetensi Siswa Ujian Nasional. Bentuk sederhana
dari
2
2
2 15
4 25
x x
x
+ −
−
adalah ...
Pilihan jawabannya a.
3
2 5
x
x
−
+
b.
3
2 5
x
x
−
−
c.
3
2 5
x
x
+
+
d.
3
2 5
x
x
+
−
Aku teringat Peri Hitam untuk memfaktorkan
pembilangnya ...
2x2 + x - 15
(2x ... )(2x ... )
(2x + 6)(2x - 5)
dibagi 2
(x + 3)(2x - 5)
Dan ... penyebutnya juga difaktorkan hafalan ...
4x2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)
Selanjutnya ... bisa diubah menjadi bentuk ...
23
Lalu ... disederhanakan dengan cara mencoret yang sama ...
Jadi, hasil akhirnya ...
Jawab benar c. Sip :)
Permainan usai. Sahabat-sahabat matematika :) berpamitan pulang. Mereka akan
membantu Kampung Rasional di luar Kampung Bulat yang dilanda banjir. Juga
Kampung Irasional. Aku teringat anak-anakku, Mini dan Inar, semoga menjadi anak yang
baik. Bersyukur kepada Allah. Berbakti kepada orang tua. Berguna bagi negeri ini.
Indonesia
Persamaan dan Pertaksamaan Linear Satu Peubah
Persamaan adalah pernyataan aljabar, yang dihubungkan dengan tanda kesamaan =.
Sedangkan pertaksamaan adalah pernyataan aljabar yang dihubungkan dengan tanda
ketaksamaan < (lebih kecil dari), > (lebih besar dari), (lebih kecil atau sama dari) dan
(lebih besar atau sama dari).
Persamaan linear satu peubah adalah suatu persamaan antara
Si Linear = si Real: 2a + 5 = -3
Si Linear = si Linear: -5y + 2 = y - 8
Persamaan linear satu peubah, dalam sebuah persamaan hanya ada satu peubah. Pada
contoh diatas, si peubah pada persamaan yang pertama adalah a . Si peubah pada
persamaan yang kedua adalah y. Si peubah, nilainya bisa berubah-ubah. Nilai a atau y
yang menyebabkan hubungan persamaan benar, dikatakan penyelesaian dari
persamaan tersebut. Sedangkan nilai a atau y yang tidak menyebakan hubungan
persamaan, bukan penyelesaian persamaan tersebut.
2a + 5 = -3
Jika a = 0, si Nol, maka 2(0) + 5 = -3. Selanjutnya 0 + 5 = -3 dan 5 = -3. Salah :(. Jadi 0,
si Nol, bukan penyelesaian. Jika a = 1, maka 2(1) + 5 = -3. Selanjutnya 2 + 5 = 5 - 6 dan
7 = -3. Salah lagi :(. Jadi 1 bukan penyelesaian. Jika a = -2, maka 2(-2) + 5 = -3.
24
Selanjutnya -4 + 5 = -3 dan 1 = -3. Lagi-lagi salah :(. Jadi -2 bukan penyelesaian. Jika a =
-3, maka 2(-3) + 5 = -3. Selanjutnya -6 + 5 = -3 dan -1 = -3. Aduh! Salah lagi :(. Jadi -5
bukan penyelesaian. Jika a = -, maka 2(-4) + 5 = -3. Selanjutnya -8 + 5 = -3 dan -3 = -3.
Sip ... bener :). Jadi -4 adalah penyelesaian. Dikatakan juga, himpunan penyelesaian (HP)
dari 2a + 5 = -3 adalah { -4 }.
Selain dengan mencoba satu persatu nilai a mana yang merupakan penyelesaianaku dapat
menggunakan sifat kesamaan pada bilangan real, si Real ...
Terhadap operasi +.
Sebuah persamaan tetap sama jika sebelah kiri atau sebelah kanan tanda = ditambah
bilangan yang sama
Terhadap operasi -, atau operasi + terhadap lawannya.
Sebuah persamaan tetap sama jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda = dikurang
bilangan yang sama
Terhadap operasi ×.
Sebuah persamaan tetap sama jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda = dikali
bilangan yang sama
Karena operasi ÷, atau operasi × terhadap kebalikannya
Sebuah persamaan tetap sama jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda = dibagi
bilangan yang sama. Asalkan ... pembaginya bukan si Nol
Sifat tetap sama pada persamaan dikatakan tetap ekivalen. Aku coba menggunakan sifat
persamaan untuk persamaan
-5y + 2 = y - 8
operasi + dengan (-2), atau dikurang 2
-5y + 2 - 2 = y - 8 - 2
-5y = y - 10
operasi + dengan (-y), dikurang y
-5y - y = y - 10 - y
-6y = -10
operasi × dengan -
1
6
, dibagi -6
-6(-
1
6
)y = -10(-
1
6
)
y =
10
6
=
5
3
25
Siswaku membawa permainan persamaan linear dari sekolahnya. Selesaikan -3(4 - x) =
5 - (x + 1)! Sahabat matematika, si Real mulai dengan sifat distributif pada operasi +
bergabung dengan operasi ×
-12 + 3x = 5 - x - 1
-12 + 3x = 4 – x
Kemudian sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda = , ditambah x. Dan jadilah ...
-12 + 3x + x = 4 - x + x
-12 + 4x = 4
Lagi-lagi ... sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda =, ditambah 12. Dan jadilah ...
12 + 4x + 12= 4 + 12
4x = 16
Sifat inilah yang sering dikatakan sebagai sesuatu yang dipindahkan menyeberangi
tanda =, tandanya diubah menjadi lawannya
-12 + 3x = 4 - x
3x + x = 4 + 12
4x = 16
Selanjutnya ... sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda =, dikali
1
4
. Dan jadilah ...
4x (
1
4
) = 16 (
1
4
)
x = 4
Jadi, penyelesaian dari -3(4 - x) = 5 - (x + 1) adalah 4. Atau dikatakan juga ... Himpunan
Penyelesaian (HP) dari -3(4 - x) = 5 - (x + 1) adalah {4}. Sip :)
Ada persamaan, ada pertaksamaan. Pertaksamaan linier satu peubah adalah
pertaksamaan antara
Si Linear < si Real
3p - 8 < -2
Si Linear > si Linear
-2q - 4 > 9 + q
Nilai p atau q yang menyebabkan hubungan suatu pertaksamaan benar disebut sebagai
penyelesaian dari pertaksamaan itu. Penyelesaian pertaksamaan biasanya bukan
merupakan sebuah bilangan. Penyelesaian pertaksamaan pada Kampung Bulat
merupakan kumpulan titik-titik bilangan bulat. Penyelesaian pertaksamaan pada
Kampung Rasional atau Kampung Real merupakan daerah dalam Kampung tersebut,
yaitu interval. Himpunan Pernyelesaian pertaksamaan pada si Real, bisa dituliskan
dengan notasi pertaksamaan, notasi interval atau gambar grafik bilangan real.
26
Sifat Pertaksamaan:
Terhadap operasi +:
Sama dengan persaman. Sebuah pertaksamaan tetap ekivalen jika sebelah kiri tanda atau
sebelah kanan tanda pertaksamaan, ditambah bilangan yang sama
Karena operasi -, adalah operasi + terhadap lawannya. Sebuah pertaksamaan tetap sama
jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda pertaksamaan, dikurang bilangan yang
sama
Terhadap operasi ×:
Sama seperti pada persamaan. Sebuah pertaksamaan tanda pertaksamaan tetap sama jika
sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda pertaksamaan dikali bilangan yang sama,
yang positif :). Berbeda dengan persamaan. Sebuah pertaksamaan tanda pertaksamaan
terbalik jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda pertaksamaan dikali bilangan
yang sama, yang negatif :(
Demikian juga dengan operasi ÷, adalah operasi × terhadap kebalikannya
Sama seperti pada persamaan. Sebuah pertaksamaan tanda pertaksamaan tetap sama jika
sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda pertaksamaan dibagi bilangan yang sama,
yang positif :). Berbeda dengan persamaan. Sebuah pertaksamaan tanda pertaksamaan
terbalik jika sebelah kiri tanda atau sebelah kanan tanda pertaksamaan dibagi bilangan
yang sama, yang negatif :( . Asalkan ... pembaginya bukan si Nol.
Yang dimaksud notasi grafik bilangan real adalah penggalan dari garis bilangan real.
Penggalan ini menunjukkan interval pada garis bilangan real yang merupakan tempat
kedudukan penyelesaian suatu pertaksamaan. Berikut adalah hubungan antara notasi
pertaksamaan, notasi interval dan grafik garis bilangan Real, bagian dari Kampung Real.
27
Penyelesaian pertaksamaan linier satu peubah 3p - 8 < -2 pada Kampung Real adalah ...
Dipindah menyeberangi tanda ketaksamaan tandanya berubah menjadi lawannya
3p < -2 + 8
3p < 6
Dibagi 3, si Asli yang positif :)
p < 2
notasi interval: (- , 2)
gambar garis bilangan real
HP dari 3p - 8 < -2 = {p|p < 2}
Sip :)
Contoh pertaksamaan linier yang lain. Penyelesaiannya pada si Bulat adalah ...
-2q - 4 > 9 + q
Dipindah menyeberangi tanda ketaksamaan tandanya berubah menjadi lawannya
-2q - q > 9 + 3
-3q > 12
Dibagi -3, si Negatif yang negatif :(, tanda ketaksamaannya dibalik
q < 4,
28
grafik bilangan bulat
HP dari -2q - 4 > 9 + q = {q | q< 4, q di Kampung Bulat}
= {... -1, 0 ,1, 2, 3}
Sip :)
Berikut bermain pertaksamaan bersama si Real...
2(2x + 3) £ 6(x - 2) + 10
Mereka harus melakukan hukum distributif terlebih dahulu, sehingga menjadi ...
4x + 6 £ 6x - 12 + 10
Si Real memidahkan 6x yang di sebelah kanan tanda ketaksamaan £ ke sebelah kiri, dan
menjadi lawannya. Juga, memnidahkan 6 yang di sebelah kiri tanda ketaksamaan £ ke
sebelah kanan, menjadi lawannya ...
4x – 6x £ -12 + 10 – 6
-2x £ -8
Tujuan si Real menentukan penyelesaian, mencari nilai x. Maka ... sebelah kiri tanda
ketaksamaan, maupun sebelah kanan tanda ketaksamaan
dikali dengan -
1
2
. Tanda - :(, maka ketaksamaan harus dibalik
x ³ 4
Di Kampung Real penyelesaian pertaksamaan 2(2x + 3) £ 6(x - 2) + 10, bisa dituliskan
dengan notasi interval [4, ¥) atau dengan cara menuliskan sifat ...
HP dari 2(2x + 3) £ 6(x - 2) + 10 = {x | x ³ 4}
Sedangkan di Kampung Bulat bisa dituliskan dengan cara mendaftar ...
HP dari 2(2x + 3) £ 6(x - 2) + 10 = {x | 4, 5, 6, 7, ...}
Si Cacah mempunyai cerita. Saat mereka menyelenggarakan konser musik mendapatkan
dana sebesar Rp 60.000.000,00 dari penjualan 8.000 tiket masuk. Jika Si Cacah menjual 2
jenis tiket, masing-masing Rp 6.000,00 dan Rp 10.000,00. Maka banyak masing-masing
tiket yang terjual adalah ...
Si Cacah memisalkan banyak tiket seharga Rp 60.000,00 yang terjual dengan simbol ¨
Karena seluruh tiket 8.000 lembar, maka banyak tiket seharga Rp 100,000,00 yang
terjual adalah 8.000 - ¨. Berdasarkan cerita pada soal, si Cacah memperoleh hubungan
...
29
6.000 ¨ + 10.000(8.000 - ¨) = 60.000.000
6.000 ¨ + 80.000.000 - 10.000 ¨ = 60.000.000
- 4000 ¨ = -20.000.000
¨ = 5.000
Banyak tiket seharga Rp 60.000,00 yang terjual 5.000 lembar
banyak tiket seharga Rp 100.000,00 yang terjual 8.000 - 5.000 = 3.000 lembar
sip :)
Si Rasional mempunyai cerita tentang masalah ekologi. Menurut termometer Fahrenheit
(F), suhu di Antartika dalam periode 24 jam, berada pada rentang -490F dan 140F. Jika
termometer Fahrenheit dan Celcius (C) mempunyai hubungan F =
9
5
C + 32,
maka suhu di Antartika pada rentang Celciusnya adalah ...
Si Rasional menuliskan ceritanya diatas sebagai peraksamaan linear satu peubah.
Peubahnya adalah F ...
-49 £ F £ 14
Mereka merubah F dengan C sesuai hubungan termometer Fahrenheit dan Celcius ...
-49 £
9
5
C + 32 £ 14
Si Rasional memindahkan 32 menyeberang tanda pertaksamaan £, dan menjadi ...
-49 – 32 £
9
5
C £ 14 – 32
-81 £
9
5
C £ 18
Si Rasional mengalikan semuanya dengan
5
9
, dan menjadi ...
-81 (
5
9
) £ C £ 18 (
5
9
)
Si Rasional mendapatkan hasil akhirnya ...
30
”Jadi menurut termometer Celcius, suhu di Antartika adalah diantara atau sama dengan
-450C dan -100C”, si Rasional mengakhiri ceritanya. Hari sudah senja. Padahal masih
banyak permainan persamaan dan pertaksamaan linear satu peubah. Sayang© ... luv© ...
matematika :). Lain waktu dilanjutkan ya. CU :)
Sempurna
"Ayo dengarkan lagu lagi", suara si Bulat memecahkan suasana permainan seru. "Ayoayo",
kata siswa-siswiku. Si Bulat mencari CD di rak yang ada di sudut ruangan.
Sahabat-sahabat matematika :) yang lain sibuk meneruskan permainan persamaan dan
pertaksamaan linier satu peubah yang dibawa oleh siswa-siswiku dari sekolahnya. Asik
banget, sambil mendengarkan lagu ... Andra and the Backbone :)
Kau begitu sempurna, dimataku kau begitu indah
kau membuat diriku akan slalu memujimu
Penyelesaian permainan persamaan dan pertaksamaan linear satu peubah targantung
dimana tempat mainnya. Di Kampung Real. Atau di Kampung Bulat. Boleh juga main di
Kampung Rasional. Himpunan penyelesaian -3(4 - z) = 5 - z untuk z bilangan bulat
adalah ...
“Oh ... ini di kampungku”, kata si Bulat. “Pertama-tama, harus menggunakan hukum
distributif terlebih dahulu”.
-12 + 3z = 5 - z
”Kemudian, dipindahkannya -z nya ke kiri. Dan dipindahkannya -12 ke kanan”,
sambungnya lagi.
3z + z = 5 + 12
4z = 14
”Lalu, dikalikan dengan
1
4
, dan didapatkan hasil...
z = 3
1
2
, suatu pecahan :(
Di Kampung Bulat tak ada pecahan. Presamaan linear -3(4 - z) = 5 – z tak punya
penyelesaian di Kampung Bulat. Jadi, HP dari -3(4 - z) = 5 – z = { }. Sip :)
31
Tapi di Kampung Rasional persamaan linear satu peubah -3(4 - z) = 5 – z mempunyai
sebuah penyelesaian. Yaitu z = 3
1
2
. Atau HP dari -3(4 - z) = 5 – z = {3
1
2
}. Asik banget
... Andra and the Backbone :)
Disetiap langkahku, kukan slalu memikirkan dirimu
Tak bisa kubayangkan hidupku tanpa cintamu
Untuk persamaan, kalau ada, hanya ada satu penyelesaian. Sedangkan pertaksamaan
mampunyai lebih dari satu penyelesaian. yang bisa dituliskan dengan notasi
pertaksamaan, interval atau grafik garis bilangan. Ini permainan dari UAN 2007/2008.
Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan linear satu peubah -5 – 7x £ 7 – x untuk x
bilangan bulat adalah ...
Pilihan jawabannya adalah
A. {-1, 0, 1, 2, 3, ... }.
B. {-2, -1, 0, 1, 2, ... }
C. { ... , -6, -5, -4, -3, -2 }
D. {... , -7, -6, -5, -4, -3 }
Si Asli memindahkannya –x dari sebelah kanan ke sebelah kiri tanda ketaksamaan £. Dan
memindahkannya -5 dari sebelah kiri ke sebelah kanan tanda pertaksamaan £. Dan
menjadi ...
-7x + x £ 7 + 5
Selanjutnya ... si Asli menyedrehanakan menjadi ...
-6x £ 12
Dan selanjutnya ... si Asli mengalikan dengan -
1
6
. Tandanya - :(, tanda pertaksamaan
dibalik. Jadi penyelesaian dengan notasi pertaksamaannya adalah ...
x ³ -2
Dan ... penyelesaian untuk x bilangan bulat, di Kampung Bulat. Dan dengan notasi
himpunan dengan cara mendaftar adalah ...
HP dari -5 – 7x £ 7 – x = { -2, -1, 0, 1, 2 ... }
"Jawaban benar adalah B :)", si Asli bersorak gembira.
Penyelesaian pertaksamaan tadi di Kampung Rasional atau kampung Real, dengan notasi
interval adalah [-2 , ). Dan ... penyelesaian dengan grafik garis bilangan
32
Sip :)
Persamaan dan pertaksamaan linear satu peubah ada juga yang berbentuk pecahan. Disini
... sebelah kiri dan di sebelah kanan tanda pertaksamaan dikalikan dengan bilangan yang
sama. Bilangan yang sama, dipilih KPK dari penyebutnya. Asik banget ... Andra and the
Backbone :)
Janganlah kau tinggalkan diriku, takkan mampu menghadapi semua
Hanya bersamamu ku akan bisa
Si Rasional mulai dengan menuliskan persamaan terlebih dahulu untuk permainan
selanjutnya ...
Si Rasional menghilangkan penyebutnya, agar menjadi persamaan yang biasa yang bukan
pecahan. Mereka mengalikan dengan KPK penyebutnya. KPK dari 9, 6 dan 2 adalah
18.
Diperoleh suatu persamaan
2(2x - 3) - 3(x + 5) = 9(3 - x) - 18
Selanjutnya, si Rasional mengerjakan dengan sifat operasi kali dan tambah. Seperti biasa,
bila bertemu tanda - :( harus hati-hati.
4x - 6 - 3x - 15 = 27 - 9x - 18
Mereka mengumpulkan yang ada x nya atau yang bilangan saja.
x - 21 = -9x + 9
Mereka memindahkan -9x ke sebelah kiri tanda persamaan. Dan -21 ke sebelah kanan
tanda kesamaan =
x + 9x = 9 + 21
10x = 30
33
Jadi hasil akhirnya ... x = 3 dan HP dari
2 3
9
x −
-
5
6
x +
=
3
2
− x
- 1 adalah {3}. Sip :)
”Nyanyi dulu ah”, kata si Nol. Semua bersama-sama. Si Real, si Irasional, si Rasional, si
Bulat, si Negatif, si Cacah, si Asli dan si Nol. Asik banget ... Andra and the Backbone :)
Kau adalah darahku, kau adalah jantungku
Kau adalah hidupku, lengkapi diriku
Oh sayangku, kau begitu
Sempurna.. Sempurna..
Selanjutnya, permainan pertaksamaan linear satu peubah...
Giliran si Real mengalikan dengan 21, untuk menghilangkan penyebutnya ...
Kemudian mereka menghitung hasil kalinya ...
Dan hasil selanjutnya ...
Lanjut lagi ...
34
"Ayo ... pindahkan", desah si Real
2y – 6y ³ 84 - 28
Lanjut lagi ...
-4y ³ 56
"Lanjut lagi dibagi denga -4", kata si Real sambil menuliskan.
"Inilah penyelesaian dengan notasi pertaksamaan", sambung si Real lagi. "Dengan notasi
interval ... ( , -14] dan bagaimana grafik garis bilangannya ?”
Sip :)
Di Kampung Real HP = {y | y£ 4}. Sedangkan di Kampung Bulat HP = { ... , -16, -15, -
14}
"Sudah selesai", si Real melompat dari bangku tempat duduknya dan bernyanyi. Asik
banget ... Andra and the Backbone :)
Kau genggam tanganku, saat diriku lemah dan terjatuh
Kau bisikkan kata dan hapus semua sesalku
Hari esok mudah-mudahan aku bertemu siswa-siswiku. Sayang© ... luv© ... persamaan
dan pertaksamaan linear :).
Ayo Berpikir §
Permainan dengan menggunakan simbol dan huruf dinamakan aljabar. Rasa senang yang
timbul saat bermain dengan si Asli, si Nol, si Cacah, si Bulat, si Rasional, si Irasional dan
35
si Real masih tersimpan di hati. Yaitu melakukan operasi +, ×, - atau ÷ ... kini permainan
itu diramaikan juga dengan simbol-simbol huruf a, b, c, p, q, r, u, v, w, x, y, z ... dan lainlain.
Ayo kerjakan sampai bentuk paling sederhana ...
3p - 2q + 4r - p + 4q - 2r -(p + q - r) = ...
3a2 - 4 ab - 2a(a + b) = ...
2(x - 1) - 3(2x - 3) - (4x - 5) = ...
-y(x + 2y - 3z) + z(y - 5) = ...
3u + 4u - 5(u + 3) + 10(2 + 1/2u) = ...
Permainanku dengan aljabar semakin asyik sejak mengenal si Linear dan si Kuadrat.
Ayo kejakan ...
(m - 7)(m + 3) = ...
(4x - 3)(x - 2) = ...
(y + 9)(2y + 3) = ...
(-3p + 4)(2p - 5) = ...
(5z - 2)(-z + 2) = ...
Ayo kerjakan juga yang ini ...
(2a + 4)2 = ...
(x - 6)2 = ...
(y + 5)(y - 5) = ...
(2p + 5q)2 = ...
(2u -3v)2 = ...
(4x + 3y)(4x - 3y) = ...
36
Ayo faktorkan ...
x2 - 11x + 24 = ...
3x2 - 2x _4 = ...
4u2 - 3u - 4 = ...
2x4 - 24x3 + 40x2 = ...
3m3n - 15m2n2 + 18mn3 = ...
Ayo faktorkan juga yang ini ...
a2 - 16 = ...
x2 - 100 = ...
25x2 - 4y2 = ...
4p4 - 4 = ...
u2v2 - w2 = ...
Ada juga pecaman aljabar. Pada
pecahan ada pembilang dan penyebut.
Pembilang dan penyebut si Rasional
adalah si Bulat. Si Bulat pada
penyebutnya bukan si Nol. Pembilang
dan penyebut pada pecahan aljabar
asalah si Linear atau si Kuadrat. Seperti
pada di Rasional penyebutnya bukan si
Nol. Sifat-sifat operasi + x : atau - pada
pecahan aljabar seperti pada si Rasional.
Ayo kerjakan pecahan aljabar berikut ...
37
Persamaan dan Pertaksamaan Kuadrat Satu Peubah
Seperti biasa, persamaan adalah pernyataan aljabar, yang dihubungkan dengan tanda
kesamaan =. Sedangkan pertaksamaan adalah pernyataan aljabar yang dihubungkan
dengan tanda ketaksamaan < (lebih kecil dari), > (lebih besar dari), (lebih kecil atau
sama dari) dan (lebih besar atau sama dari).
Persamaan kuadrat satu peubah satu peubah adalah suatu persamaan antara
Si Kuadrat = Si Nol : 2x2 + 4x - 30 = 0
Si Kuadrat = si Real : x2 + 5x - 10 = -4
Si Kuadrat = si Linear: 3x2 + 12x + 5 = 11x + 6
Si Kuadrat = si Kuadrat: 2x2 + 2x + 3 = x2 + x +1
Persamaan kuadrat satu beubah hanya mempunyai 1 peubah, yang pada contoh diatas
adalah x. Seperti pada persamaan linear satu peubah, nilai x yang memenuhi kebenaran
persamaan merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Si Kuadrat, pangkat
tertinggi dari x adalah 2. Maka pada dasarnya ada 2 nilai x yang merupakan penyelesaian
persamaan kuadrat tersebut.
Penyelesaian persamaan kuadrat satu peubah bisa dicari dengan berbagai cara. Salah satu
cara yang mudah dengan cara memfaktorkan si Kudratnya terlebih dahulu
Si Kuadrat = si Nol : 2x2 + 4x - 30 = 0
(2x ... )(2x ...) = 0
(2x + 10)(2x - 6) = 0
harus dibagi dengan 2
(x + 5)(2x - 6) = 0
(x + 5) = 0 atau (2x - 6) = 0
x = -5 atau x = 3 merupakan penyelesaian dari
2x2 + 4x - 30 = 0.
Jadi, HP dari persamaan kuadrat 2x2 + 4x - 30 =
0 adalah { -5 , 3 }.
Sip :)
Si Kuadrat = si Real : x2 + 5x - 10 = -4
38
Harus diubah menjadi
Si Kuadrat = si Nol: 2x2 + 4x - 30 = 0
(x ... )(x ... ) = 0
(x + 6)(x - 1) = 0
x + 6 = 0 atau x - 1 = 0
x = -6 atau x = 1
HP dari x2 + 5x - 10 = -4 adalah { -6 , 1 }
Sip :)
Si Kuadrat = si Linear: 3x2 + 12x + 5 = 11x + 6
Harus diubah menjadi si Kuadrat = si Nol : 3x2 + x – 1 = 0. Tidak bisa difaktorkan :(.
Dalam keadaan seperti ini. Ada rumus untuk menentukan penyelesaian persamaan
kuadrat satu peubah. Persamaan kuadrat satu peubah, yang bentuk umumnya ...
ax2 + bx + c = 0
a, b dan c si Real
a bukan si Nol
x si Peubah
Rumus untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat satu peubah dinamakan
rumus_abc
Maka penyelesaian dari persamaan kuadrat satu peubah 3x2 + x – 1 = 0 adalah ...
x1 =
1 1 4(3)( 1)
2(3)
− + − −
=
1 1 12
6
− + +
=
1 13
6
− +
atau
39
x2 =
1 1 4(3)( 1)
2(3)
− − − −
=
1 1 4(3)( 1)
2(3)
− − − −
=
1 1 12
6
− − +
=
1 13
6
− −
Si Irasional, ada bilangan yang dibawah tanda akar, x1 atau x2 adalah si Irasional. Sip:).
Misalkan bilangan yang dibawah tanda akar b2 − 4ac dinamakan :D, yang selalu
tertawa lebar. Si :D ini bisa positif atau si :D adalah si Nol atau si :D negatif. Ciri-ciri si
:D untuk penyelesaian persamaan kuadrat satu peubah adalah ...
Si :D positif :), :D > 0
Ada 2 nilai x yang berbeda, si Real, yang merupakan penyelesaian persamaan juadrat
satu peubah ax2 + bx + c = 0 , bisa si Irasional, si Rasional atau si Bulat
Si :D adalah si Nol, :D = 0
Ada 2 nilai x yang berbeda atau hanya ada 1 nilai x, si Real, yang memenuhi, bisa si
Rasional atau si Bulat
Si :D negatif :(, :D < 0
Tidak ada nilai x, si Real, yang memenuhi. Akar si Negatif adalah si Imajiner ... bukan si
Real. Tidak kuperkenalkan sama sekali disini. Si Imajiner sahabat Inar, anakku
Si Kuadrat = si Kuadrat: 2x2 + 2x + 3 = x2 + x + 1
Harus diubah menjadi si Kuadrat = si Nol: x2 + x + 2 = 0. Tidak bisa difaktorkan :(.
Gunakan rumus_abc
x1 =
1 1 4(1)(2)
2
− + −
=
1 1 8
2
− + −
=
1 7
2
− + −
atau
40
x2 =
1 1 4(1)(2)
2
− − −
=
1 1 8
2
− − −
=
1 7
2
− − −
x1 dan x2 bukan si Real :(
Ada persamaan ada tak persamaan kuadrat satu peubah
Pertaksamaan kuadrat satu peubah juga harus dijadikan bentuk yang baku. Yaitu si
Kuadrat dipertaksamakan dengan si Nol. Caranya sama dengan pada prsamaan kuadrat
satu peubah. Seperti pada pertaksamaan linear satu peubah, penyelesaian pertaksamaan
kuadrat satu peubah merupakan pada si Real merupakan interval. Dan merupakan
kumpulan titik-titik bilangan bulat si Bulat. Contoh pertaksamaan kuadrat satu peubah
Penyelesaian pertaksamaan kuadrat satu peubah x2 - x - 12 0 adalah ...
Si Kuadratnya harus difaktorkan terlebih
dahulu x2 - x - 12 0
(x – 4)(x + 3) ³ 0
• Jika penyelesaiannya di Kampung Real,
gambar Garis Bilangan Real
• Tentukan titik-titik batasnya, yaitu x =
4 atau x = -3
• Pilih titik yang mudah, jika
memungkinkan si Nol.
• Tentukan nilai si Kuadrat pada daerah
titik yang dipilih berada: (0 – 4)(0 + 3)
= -12 < 0
• Tetangganya selalu lawannya.
• Pertaksamaan x2 - x - 12 0, pilih
daerah yang ³ 0 (+ + +)
Karena pertasamaannya harus lebih besar atau sama dengan 0, si Nol, maka interval yang
berlaku untuk penyelesaian pertaksamaannya dengan notasi pertaksamaan adalah
41
Dengan notasi interval (- ,4] atau [3, ). Dan dengan grafik bilangan real
Bisa juga dengan notasi himpunan penyelesaian
Sayang© ... luv© ... persamaan dan pertaksamaan kuadrat satu peubah :)
Ayo Berjuang ¨
Masih ingatkah kepada si Genap dan si Ganjil? Mereka mereka mengajak bermain
dengan persamaan linear satu peubah. Ayo cari penyelesaiannya ...
3x - (2x - 1) = 7
8 - 3/4(x - 4) = 1/8(x + 1)
3(1,5 x - 0,2) = 0,5 x
6x/5 - x-1/4 = x
4(2x - 1) - 12 = 16 - 2x
10x - 9 = 19 + 9x
Ada persamaan ada pertaksamaan. Ini dia si Prima, tak mau ketinggalan, memberikan
pertaksamaan linear satu peubah. Ayo cari penyelesaiannya ...
42
Bentuk Pangkat dan Akar ... Eksponen dan Radikal
Hari ini. Hari libur yang ceria. Burung ketilang berkicau di pohon Lengkeng yang ada di
depan rumahku. tanda waktu menujukkan jam 05.30. Aku sudah berpikir untuk santai.
Tapi saat menikmati gorengan singkong aku tiba-tiba teringat. Hari ini aku janji untuk
belajar dengan salah satu siswiku. Aku bersyukur Allah mengingatkan aku. Terima kasih
ya Allah:) Wah sahabat-sahabatku juga ingin berlibur. Tapi ... si Real dan si Irasional
mau menemaniku belajar :D
Pangkat pada si Real, bisa dihitung langsung. Pangkat pada aljabar, karena merupakan
lambang atau huruf, tak bisa dihitung langsung. Inilah pengertian bentuk pangkat
pada aljabar dan operasi-operasinya...
x si Peubah, n si Asli
Pangkat n, si Asli :) xn = x.x.x.x ... .x
Pangkat si Nol :D x0 = 1
Pangkat –n, si Negatif :( x -n =
1
n x
Operasi-operasi pada bentuk pangkat
a si Peubah.
m dan n si Bulat ...
43
a, b si Peubah
m si Bulat ...
Dari sejak mengenal si Asli, telah diketahui akar dan pangkat suatu bilangan sangat erat
hubungannya. Maka dalam aljabar, keeratan hubungan antara akar dan pangkat dapat
ditunjukkan sebagai berikut
Sementara aku hanya ingin berkenalan dengan bilangan sampai Kumpulan Bilangan
Real, si Real saja. Bentuk akar yang menghasilkan si Real adalah akar dari si Real yang
positif. Sedangkan akar dari si Real yang negatif akan menghasilkan bilangan imajiner.
Siapakah dia? Dia si Imajiner. Dia si Kompleks. Kapan-kapan Inar akan
memperkenalkannya. Si Imajiner dan si Kompleks adalah sahabat Inar.
44
x si Peubah yang positif :)
n si Asli lebih besar dari 2
Inilah permainan-permainan yang dibawa oleh siswiku ...
Permainan-1: Sederhanakan dan tulis jawabnya dengan menggunakan pangkat positif
(2x7)(4x3) = …
"Bilangannya dioperasikan terlebih dahulu (2)(4) = 8", pikir si Real. "Dan ... peubah x
pangkatnya harus ditambahkan (x7)(x3) = x7 + 3". Si Real menuliskan …
8x7 + 3 = 8x10. Sip :)
Si Irasional juga bermain dengan permainan-2 berikut
a-1b . ab-1 = ...
Pilihan jawabannya: a.0 b.1 c.a d.ab
Si Irasional menuliskan
a-1b . ab-1 = a-1 + 1. b1 - 1
= a0.b0 = 1.1 = 1
45
"Jadi ... jawab benar b", kata si Irasional. "Sip :)".
Permainan-3 tak beda jauh dengan yang sebelumnya 2m-n . 2n-m = ...
Pilihan jawabannya: a.2 b.4 c.1 d.m-n
"Ya pastilah", si Real menuliskan 2m-n . 2n-m = 2m-n+n-m = 20 = 1. "Ahaha ... jawab benar
c", si Real senang. Sip :)
Siswiku ikut bemain dalam permainan-4, pembagian
Disederhanakannya bilangannya dan dikurangannya pangkatnya
Diselesaikannya hasil pengurangannya
Dia bereskan pangkatnya agar positif. Jadi ... yang pangkatnya negatif di pembilang,
harus dipindahkan ke penyebut
Siswiku gembira. Sip :)
Si Irasional tertarik bermain dengan soal-5 berikut
46
Dia merubah menjadi bentuk berikut dan langsung menyederhanakan dengan mencoret
yang sama
Dan ... si Irasional melanjutkan langkah berikutnya
"Wah ... ada yang bisa dicoret lagi", kata si Irasional. Dan hasilnya adalah
Pilihan jawabannya a.x+y b.x-y c.y-x d.1
Tentu saja si Irasional memilih jawab benar a. Sip:)
"Ah! Aku tak mau ketinggalan dalam permainan", kataku kepada mereka. Aku memilih
... pangkat yang dipangkatkan lagi.
"Jika ada bentuk pangkat dipangkatkan lagi, maka pangatnya dikalikan", kataku. Si Real
mengaggukkan kepala tanda setuju. Si Irasional hanya tersenym :). Siswiku
memperhatikan dengan seksama.
"Pecahan mengartikan dibagi", kataku lagi."Dan pada pembagian bentuk pangkat,
pangkatnya dikurangkan", sambung si Irasional. Aku tersenyum sambil memnanggukan
kepala, tanda setuju.
47
Selanjutnya bersama-sama menyelesaikan hasil pengurangannya
"Bisa disederhanakan", kata siswiku seakan takut yang lain akan memngucapkan terlebih
dahulu.
"Ini dia hasilnya", kata mereka hampir bersamaan.
"Atau sama juga dengan dituliskan seperti berikut", sambungku mengakhiri penylesaian
soal ini.
.
Sip :)
Bentuk akar dikatakan sederhana jika yang dibawah tanda akar tidak bisa di akarkan lagi.
Juga ... bentuk akar yang indah adalah jika di penyebutnya tidak ada bentuk akar. Ini
beberapa contoh permainan membuat bentuk akar lebih sederhana
8x6 y4 = (2)(2)(2)x6 y4
= 2x3y2 2
"Bagaimana jika akar pangkat 3?", tanya siswiku
3 8x6 y4 = 3 (2)(2)(2)x6 y4
= 2x2 y 3 y
"Ada lagi yang harus diperhatikan pada bentuk akar", kata si Irasional."Kalau bentuk
akarnya di penyebut".
48
Lanjut ...
Dan hasilnya ...
Hari telah siang. Adzan Dzuhur terdengar ... mengajak aku solat. Belajar dengan siswiku,
si Real dan si Irasional aku akhiri. Hari esok bermain lagi. Tuntutlah ilmu sampai ke
Nageri Cina :)
Persamaan Linear Dua Peubah
Wah ... sekarang dua peubah. Tentunya makin sayang© ... luv© ... matematika :). Si
Linear 2 peubah ... ya begini lah. Yang paling sederhana x + y + 5 = 0. Bisa juga 2a + 3b
= -4. Atau bisa juga
1
3
p - 6q = 0.
Penyelesaian pada persamaan dan pertaksamaan dua peubah adalah mencari nilai si
Peubah x dan y nya, atau p dan q nya , atau a dan b nya atau yang lain-lain. Tentunya
yang membuat hubungan persamaan benar. Karena itu, untuk mendapatkan penyelesaian
persamaan dua peubah harus ada 2 persamaan.
Sebagai awal, ada 2 cara untuk menyelesaikan persamaan linear dua peubah
1. cara eliminasi, yaitu menghilangkan salah satu peubah x atau y
2. cara substitusi, yaitu cara menggantikan salah satu peubah dari persamaan yang
satu ke persamaan yang lain
Ini contoh permainan persamaan linear dua peubah dari siswa siswiku. Tentukan
penyelesaian dari persamaan 2 peubah
x + y = 4
2x - y = 2
49
Mula-mula si Bulat beramai-ramai mengeliminasi x nya
Kemudian mereka mengeliminasi y nya
"Dari eliminasi x, aku dapatkan y", kata si Bulat lagi. "Dan dari eliminasi y, kamu
dapatkan x", sambung si Nol. "Haha :D" mereka berdua terbahak bersama.
Jadi ... penyelesaiannya x = 2 dan y = 2. Atau HP = {(2,2)}
Permainan yang lain. Penyelesaian sistem persamaan linear
3x + 4y = 4 dan 5x - 2y = 24
adalah x dan y. Nilai 4x - y = ...
Pilihan jawabannya a. -12 b. -4 c. 14 d. 18
Si Cacah mengeliminasi x
Selanjutnya mereka eliminasi y
“Trus ... yang ditanyakan ...”, kata si Cacah sambil menuliskan
50
4x - y = 4(4) - 2
= 16 - 2
= 14
"Jawab benar c", kata si Cacah setelah selesai menulis. Sayang© ... luv© ... matematika :)
Nah ... ini dia prmainan dari MGMP DKI Jakarta. Asik untuk diselesaikan dengan
metoda substitusi. "Ayo,ayo ... siapa yang bisa?", tanyaku. "Hoho sip :)", kata si Bulat.
Himpunan penyelesaian dari
2x + 5y = 19 ... (1)
3x - y = 3 ... (2)
adalah {(a,b)}. Nilai a - 3b = ....
Pilihan jawabannya: a. 7 b. 4 c. -4 d. -7
Si Bulat akan mensubstitusi y dari persamaan (2) ke persamaan (1). Persamaan (2): 3x - y
= 3, maka -y = 3 - 3x atau y = 3x – 3
Disubstitusi ke persamaan (1)
2x + 5y = 19
2x + 5(3x - 3) = 19
2x + 15x - 15 = 19
17x = 19 + 15
17x = 34
x = 2
Lalu , si Bulat kembali ke persamaan (2) ...
y = 3x - 3
= 3(2) - 3
= 6 - 3
= 3
Jadi, {(a,b)} = {(2,3)}. Trus ... yang ditanyakan
a - 3b = 2 - 3(3)
= 2 - 9
= -7
"Jawab benar d", kata Bulat mengakhiri penyelasaian soalnya. Sayang ©... luv© ...
matematika :)
Ada lagi, cerita tentang permainan dari UAN 2007/2008.
Pada sebuah toko Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida
membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp 84.000,00. Sedangkan Anis membeli 10
kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah
...
51
Pilihan jawabannya
a. Rp 152.00,00 b. Rp 130.000,00 c. Rp 128.000,00 d. Rp 120.000,00
"Haha ... ayo dimisalkan dulu ya", kata si Rasional. Misalkan harga 1 kg terigu = Rp x,00
dan harga 1 kg beras = Rp y,00. Sekarang persamaan belanjaan Hida adalah
6x + 10y = 84.000
Selanjutnya persamaan belanjaan Anis adalah
10x + 5y = 70.000
"Kemudian tentukan nilai x dan y nya", sambung si Rasonal. "Eliminasi aja ah :)"
Jadi ... harga 1 kg terigu Rp 4.000,00 dan harga 1 kg beras Rp 6.000,00
Dan ... harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah
= 8 x 4.000 + 20 x 6.000
= 32.000 + 120.000
= Rp 152.000,00
"Jawab benar a", si Rasional senang bisa menemukan jawabannya. Sayang© ... luv© ...
matematika :)
Permainan yang ini akan dikerjakan oleh si Real dengan gabungan metoda eliminasi dan
substitusi. Permainan UAN 2007/2008.
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan 3x - y = 16 dan x + y = a2, maka x + 2y adalah
...
Pilihan jawabannya: a. 14 b. 17 c. 19 d. 22
Si Real menuliskan sistem persamaannya
3x - y = 16 ... (1)
52
x + y = 12 ... (2)
Si Real menggunakan cara eliminasi terlebih dahulu
Si Real mensubstitusikan hasilnya ke persamaan (2): x + y = 12
7 + y = 12
y = 12 – 7 = 5
Dan ... yang ditanyakan
x + 2y = 7 + 2(5)
= 7 + 10
= 17
"Jawab benar b", kata si Real. Sayang© ... luv© ... matematika :)
Ada sebuah permainan lagi. Si Irasional mengambil dari permainan yang dibuat oleh
MGMP DKI Jakarta. Uji Coba Kompetensi Siswa Ujian Nasional.
Di tempat parkir sebuah pertokoan terdapat 150 kendaraan yang terdiri dari mobil dan
sepeda motor. Banyak roda kendaraan seluruhnya 420 buah. Jika tarif parkir untuk 1
mobil Rp 4.000,00 dan 1 sepeda motor Rp 1.500,00. Maka pendapatan parkir saat itu
adalah ...
Pilihan jawabannya
a. Rp 300.000,00 b. Rp 375.000,00 c. Rp 425.000,00 d. Rp 450.000,00
"Misalkan ada x mobil dan ada y sepeda motor", kata si Irasional
"Terdapat 150 kendaraan", sambung si Irasional. Jadi persamaannya ...
x + y = 150 ... (1)
"Wah ... jumlah roda ada 420", kata si Irasional lagi. "Sebuah mobil punya 4 roda, jumlah
roda mobil 4x", dan si Irasional melanjutkan lagi. "Sebuah sepeda motor punya 2 roda,
jumlah sepeda motor mobil 2y". Jadi persamaannya ...
4x + 2y = 420 ... (2)
Si Irasional menyelesaikan dengan eliminasi terlebih dahulu
53
Lalu si Irasional mensubstitusi ke persamaan (1): x + y = 150
60 + y = 160
y = 150 - 60
y = 90
Jadi, ada 60 mobil. Pendapatan uang parkir mobil = 60 x 4000 = Rp 240.000,00
Dan, ada 90 sepeds motor. Pendapatan uang parkir sepeda motor = 90 x 1500 = Rp
135.000,00. Toatal pendapatan uang parkir saat itu 240.000 + 135.000 = Rp 375.000,00.
Si Irasional mengakhiri penyelesaian permainan diatas. Sayang© ... luv© ... matematika
:). Hari udah malam. Aku dan sahabat-sahabat matematika mengakhiri belajar dan
bermain dalam soal-soal matematika. Semoga bermanfaat buat semua yang sayang© ...
luv© ... matematika :). Sayang kamu Mini, semoga jadi dokter yang baik :) Sayang kamu
Inar, semoga jadi matematikawan yang baik :)
Ayo Semangat ©
Hari sangat sejuk. Aku bersemangat untuk sarapan bacang. Aku tunggu mas Bacang
lewat. Aku memang gemar sarapan bacang. Di temani sahabat-sahabat ku si Real, si
Irasional, si Rasional, si Bulat, si Negatif, si Cacah, si Asli dan si Nol. Abis sarapan, kami
semua semangat akan menuliskan latihan soal. Si Real mulai dengan persamaan kuadrat
satu peubah. Ayo mencari penyelesaian persamaan kuadrat satu peubah ...
2x2 = 4x
9y2 - 25 = 0
(a - 5)2 = 7
p2 = 1 - 3p
2u2 - 20u - 6 = 0
Ada persamaan ... ada pertaksamaan kuadrat satu peubah. Si Irasional melanjutkan
dengan pertaksamaan kuadrat satu peubah. Ayo mencari penyelesaian pertaksamaan
kuadrat satu peubah ...
54
Kembali lagi ke persamaan linear. “Persamaan linear dua peubah :). Penyelesaian
persamaan linear dua peubah dapat dicari jika ada 2 persamaan linear dua peubah.
Selanjutnya ... penyelesaian persamaan linear tiga peubah dapat dicari jika ada 3
persamaan tiga peubah. Dan ... dinamakan sistem persamaan linear", si Real menjelaskan.
Ayo mencari penyelesaian sistem persamaan linear ...
x + y = 5 dan x - y = 1
y = 2x - 3 dan x + 2y = 14
2x - 3y = -8 dan 5x + 3y = 1
9x - 3y - 24 = 0 dan 11x + 2y - 1 = 0
7x + 12y + 1 = 0 dan 5x - 3y - 7 = 0
"Ayo semangat ... cari penyelesaian sistem persamaan linear 2 peubah", si Rasional tak
mau ketinggalan
Ayo-ayo semangat ... si Negatif belanja di Pasar Baru. Harga 6 kaos dan 4 celana adalah
Rp 480.000,00. Sedangkan harga 3 kaos dan 6 celana yang sama adalah Rp 480.000,00
juga. Ayo tolonglah si Negatif menghitung harga 2 kaos dan 5 celana yang sama ... :)
Si Irasional juga semangat dengan permainannya. Harga 3 buku dan 2 pensil Rp
55
6.900,00. Sedangkan harga 4 buku dan 5 pensil Rp 8.700,00. Jika si Bulat membeli 4
buku dan 5 pensil, maka ia harus membayar sebesar ...
Aku ingin membuat usaha garmen. Aku mulai dengan membuat 2 jenis kaos keren.
Model A pake kata-kata lucu di sablon. Model B pake lukisan. Aku dibantu 2 pekerja si
Asli untuk menggunting bahan. Si Nol menyelesaikan hingga menjadi kaos keren. Si Asli
memerlukan waktu untuk menggunting 1 kaos model A: 0,4 jam dan model B: 0,4 jam.
Si Nol memerlukan waktu untuk menyelesaikan model A: 0,3 jam, model B: 0,5 jam.
Jika dalam 1 minggu aku dapat mempekerjakan si Asli 48 jam, si Nol 40 jam. Berapa
banyak kaos model A dan B yang dapat kuhasilkan dalam 1 minggu?